通過領域/点の存在範囲の最難問～東大理系数学1988 第3問～

◆今日のテーマ～1988年東大理系数学第3問～

難関大入試数学で度々出題されるテーマに平面変換とか通過領域とか点の存在範囲とか呼ばれるものがあります。特に東京大学は何十年も前からよく出題します。

いわゆる頻出テーマの一つですが、その中でも史上最難問と名高いものの一つが1988年東大理系数学の第3問です。今日はこれを解いてみます。

$C$ を $y=x^3-x,-1 \leqq x \leqq 1$ で与えられる $xy$ 平面上の図形とする. 次の条件をみたす $xy$ 平面上の点 $P$ 全体の集合を図示せよ.
条件:「 $C$ を平行移動した図形で, 点 $P$ を通り, かつもとの図形 $C$ との共有点がただ $1$ 点であるようなものが,ちょうど $3$ 個存在する.」

◆問題読解

ありとあらゆる問題を解く上で大変に重要なことは問題の構造を把握することです。特に難問に於いては、これを意識して丁寧に行えるかどうかが命運を分けると言っても良いでしょう。(むしろコレさえ出来れば殆どの問題は定式化された処理によって解答可能とも言える。)

証明問題であれば、用いてよい事実(仮定)とこれから示すべき事実(結論)を把握すること、

求値問題*1であれば、求めるべき値の満たす性質(条件)を把握することが重要です。

今回の問題は求値問題に属します。求めるべきものは $P$ の座標 $x,y$ の満たす関係式であり、それは「 $C$ を平行移動した図形で, 点 $P$ を通り, かつもとの図形 $C$ との共有点がただ $1$ 点であるようなものが,ちょうど $3$ 個存在する.」という条件から与えられます。これを意識しましょう。

◆解答計画

上の◆問題読解によれば、求めるべきものは $P$ の座標 $x,y$ の満たす関係式であり、それは「 $C$ を平行移動した図形で, 点 $P$ を通り, かつもとの図形 $C$ との共有点がただ $1$ 点であるようなものが,ちょうど $3$ 個存在する.」という条件から与えられるのでした。

「ある点を通過する」図形(幾何的対象)の存在を論じるための最も良い手法はパラメータの存在にすり替えて議論することです。存在を議論したい対象を、適当なパラメータを用いて表現することで、図形の存在を数或いは数の組み合わせの存在へと帰着させます。まずは図形の方程式の一般形を求め、それが解を持つような(その図形に対応するパラメータが存在するような)条件を求めます。

この問題の場合は $C$ を平行移動した図形」の存在を条件として用いますから、まずはこれをパラメータを用いて表現することになりますが、一筋縄では行かないのがこの問題で、「 $P(X,Y)$ を通過する」以外にも更に「 $C$ と共有点を一つ持つ」という条件が存在します。

ここで混乱して解答不能になった受験者も多いのではないかと思います。このような場合は、 $P$ の座標についての条件とそれ以外の条件を切り分けて、それぞれを別の段階で考えられるように問題を捉え直すと良いのです。

つまり本問の場合は、" $C$ を平行移動した図形"の $P(X,Y)$ に無関係な条件である、「 $C$ と共有点を一つ持つ」と、直接 $P(X,Y)$ の座標に制限を与える「 $P(X,Y)$ を通過する」を切り分けて捉えるのです。

その結果として、一般に $C$ を平行移動した図形全体をパラメータで表現するのではなく「 $C$ を平行移動した図形のうち、 $C$ と共有点を一つ持つ図形」をパラメータで表現するのだと認識を改められれば、問題の構造が本当に簡単なものに見えるのではないでしょうか。つまり、

1.「 $C$ を平行移動した図形であり、かつ $C$ をただ一点の共有点を持つもの」をパラメータを用いて表現する

2.それらのうち $P(X,Y)$ を通るものが3つ存在するような $X,Y$ の条件を求める

の二段階に分けて問題を解けば良いと分かります。後は迷うことはありません。

(このように問題の構造を丁寧に把握し、解答計画を立案することは、殊に難問に於いては大変に重要です。◆問題読解と◆解答計画の二つの項目は、難問を扱う場面に於いては、今後も様々な記事に登場するでしょう。)

◆解答

「 $C$ を平行移動した図形であり、かつ $C$ をただ一点の共有点を持つもの」をパラメータを用いて表現することを考える。

$C$ を $x$ 軸方向に $p$ 、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した図形を

$C_{(p,q)} : y-q=(x-p)^3 - (x-p) ~~(p-1 \leqq x \leqq p+1)$

と表すとすると、これが $C$ と共有点を唯一つ持つことは、

方程式 $x^3-x=(x-p)^3-(x-p)+q$ が $\left\{ \begin{array} -1 \leqq x \leqq 1 \\ p-1 \leqq x \leqq p+1 \end{array} \right.$ に解 $x$ をただ一つ持つことに等価である。*2

この方程式を整理すると $-3px^2+3p^2x-p^3+p+q= 0 \cdots (\ast)$ となるから、以下、この左辺を $f(x)$ と置き、 $(\ast)$ が $\left\{ \begin{array} -1 \leqq x \leqq 1 \\ p-1 \leqq x \leqq p+1 \end{array} \right. \cdots (\star)$ に実数解を唯一つ持つ $p,q$ の条件を考察する。また、 $f(x)=-3p(x-\dfrac{1}{2}p)^2-\dfrac{1}{4}p^3+p+q$ である。

　 $(i) \cdots p <-2$ のとき

　　　 $(\star)$ を満たす $x$ は存在しない。

　 $(ii) \cdots 2 \leqq x < 0$ のとき

　　　 $(\star) \Leftrightarrow -1 \leqq x \leqq p+1$ である。 $y=f(x)$ のグラフの軸は $x=\dfrac{1}{2}p$ であり、これは区間 $-1 \leqq x \leqq p+1$ の中央に位置する。従って、求める条件は $f(\dfrac{1}{2}p)=0$ である。

　 $(iii) \cdots p=0$ のとき

　　　 $f(x)=q$ であり、これが $\star$ に解を持つためには $q=0$ が必要であるが、このとき、解は任意の $x$ となり不適

　 $(iv) \cdots 0 < p \leqq 2$ のとき

　　　 $(\star) \Leftrightarrow p-1 \leqq x \leqq 1$ である。 $y=f(x)$ のグラフの軸は $x=\dfrac{1}{2}p$ であり、これは区間 $p-1 \leqq x \leqq 1$ の中央に位置する。従って、求める条件は $f(\dfrac{1}{2}p)=0$ である。

　 $(v) \cdots 2 < p$ のとき

　　　 $(\star)$ を満たす $x$ は存在しない。

$(i) ～ (v)$ から、 $\left\{ \begin{array} -2 \leqq p <0 , 0 < p \leqq 2 \\ -\dfrac{1}{4}p^3+p+q = 0 \end{array} \right.$ が「 $C_(p,q)$ が $C$ と共有点を唯一つもつ」ことに必要十分である。

これらを $C_(p,q)$ の式に反映させて整理すれば

「 $C$ を平行移動した図形であり、かつ $C$ をただ一点の共有点を持つもの」は、パラメータ $p$ を用いて

$D_p : y=x^3-3px^2+3p^2x-\dfrac{3}{4}p^3-x$

と表すことが出来る。これが点 $P(X,Y)~~(p-1 \leqq X \leqq p+1)$ *3を通過するとき、

$Y=X^3-3pX^2+3p^2X-\dfrac{3}{4}p^3-X$

すなわち

$\dfrac{3}{4}p^3-3Xp^2+3X^2p-X^3+X+Y=0 \cdots (\circ)$

の解が $\left\{ \begin{array} -2 \leqq p <0 , 0\lt p \leqq 2 \\ X-1 \leqq p \leqq X+1 \end{array} \right. \cdots (\bullet)$ の範囲に存在し、その個数が条件を満たす $D_p$ の個数に一致する。

したがって、 $P$ を通過する $D_p$ が3つ存在する条件は、方程式 $(\circ)$ が $(\bullet)$ を満たす相異なる解 $p$ を3つ持つ条件に等価である。以下はこれを考える。*4

$(\circ)$ の左辺を $g(p)$ と置くと、 $g'(p)=\dfrac{9}{4}p^2-6Xp+3X^2=\dfrac{3}{4}(3p-2X)(p-2X)$

$X=0$ のとき、 $g'(p)=\dfrac{9}{4}p^2 \geqq 0$ となり不適 ( $\because$ このとき $(\circ)$ の実数解がただ一つとなる)

$X\neq 0$ のとき、 $g(p)$ の増減は以下の表のようになる。

$\begin{array}{c||ccccc} p & \cdots & \min \{ \dfrac{2}{3}X,2X\} & \cdots & \max \{ \dfrac{2}{3}X,2X \} & \cdots \\ \hline g’(p) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline g(p) & \nearrow & 極大値 & \searrow & 極小値 & \nearrow\end{array}$

　 $(I) \cdots 0 < X$ のとき

　　　 $\dfrac{2}{3}X < 2X$ である。 $(\bullet)$ より、「 $X-1<\dfrac{2}{3}X$ かつ $2X \lt X+1$ 」、すなわち $X<1$ が必要。　

　　　 $0 \lt X \lt 1$ において、 $(\bullet) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} pp \neq 0 \\ X-1 \leqq p \leqq X+1 \end{array} \right.$

　　　であるから、結局、グラフが図のようなときに条件を満たす。

　　　 f:id:love_me_agape:20180825232806j:plain:w300

　　　従って、 $\left\{ \begin{array} ~0 \lt X \lt 1 \\ g(X-1) \leqq 0 \\ g(X+1) \geqq 0 \\ g(2X)<0 \\ g(\dfrac{2}{3}X)>0 \\ g(0) \neq 0 \end{array} \right.$ が求める条件である。

　 $(II) \cdots X < 0$ のとき

　　　 $(I)$ のときと同様に考えれば $-1\lt X\lt 0$ が必要であり、グラフが図のようなときに条件を満たす。

　　　 f:id:love_me_agape:20180825232815j:plain:w300

　　　従って、 $\left\{ \begin{array} ~-1 \lt X \lt 0 \\ g(X-1) \leqq 0 \\ g(X+1) \geqq 0 \\ g(2X)>0 \\ g(\dfrac{2}{3}X)<0 \\ g(0) \neq 0 \end{array} \right.$ が求める条件である。

また、 $g(X-1),g(X+1),g(\dfrac{2}{3}X),g(2X),g(0)$ をそれぞれ計算すると

$\begin{eqnarray} g(X-1)&=&\dfrac{3}{4}(X-1)^3-3X(X-1)^2+3X^2(X-1)-X^3+X+Y \\ &=&\dfrac{1}{4}(X-1)\{ 3(X-1)^2-12X(X-1)+12X^2-4X(X+1)\} +Y \\ &=& -\dfrac{1}{4}(X-1)(X+1)(X-3)+Y\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} g(X+1)&=&\dfrac{3}{4}(X+1)^3-3X(X+1)^2+3X^2(X+1)-X^3+X+Y \\ &=&\dfrac{1}{4}(X+1)\{ 3(X+1)^2-12X(X+1)+12X^2-4X(X-1)\} +Y \\ &=& -\dfrac{1}{4}(X+3)(X+1)(X-1)+Y\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} g(\dfrac{2}{3}X) &=& \dfrac{2}{9}X^3-\dfrac{12}{9}X^3+2X^3-X^3+X+Y \\ &=& -\dfrac{1}{9}X^3+X+Y \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} g(2X) &=& 6X^3-12X^3+6X^3-X^3+X+Y \\ &=& -X^3+X+Y \end{eqnarray}$

$g(0)=-X^3+X+Y$

であるから、これらを踏まえれば、 $P(X,Y)$ の満たすべき条件は、

$\left\{ \begin{array} ~0 \lt X \lt 1 \\ Y > \dfrac{1}{9}X^3-X \\ Y \lt X^3-X \\ Y \geqq \dfrac{1}{4}(X+3)(X+1)(X-1) \\ Y \leqq \dfrac{1}{4}(X-1)(X+1)(X-3) \end{array} \right.$ または $\left\{ \begin{array} ~-1 \lt X \lt 0 \\ Y < \dfrac{1}{9}X^3-X \\ Y > X^3-X \\ Y \geqq \dfrac{1}{4}(X+3)(X+1)(X-1) \\ Y \leqq \dfrac{1}{4}(X-1)(X+1)(X-3) \end{array} \right.$

図示すると以下のようになる。

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境界は $y=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-3),y=\dfrac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-1)$ のみ含む。ただし点 $(\pm1,0),(\pm \dfrac{3}{5}, \mp \dfrac{72}{125})$ は除く。

◆総評

流石にこの類の問題で史上最難と呼ばれるだけあり、流石に骨が折れました。

本問の珍しいところは、三次方程式の解の配置を扱うところです。◆解答計画で少し言及したように、方程式の解の配置の問題へ帰着させる方法は逆像法と呼ばれるもので、平面変換の問題の定石として広く知られています。本問でもそれを採ったわけですが、多くの問題は二次方程式の解の配置へ帰着できるのに対し、本問では扱う図形が三次関数のグラフ*5であり、式が高次になってしまうために、三次方程式の解の配置の問題を解くことになります。二次方程式の解の配置問題を本当に理解していれば、殆ど同様の考えによって解くことが出来ますが、理解が曖昧だとここで詰まってしまうかもしれません。

*1:値やその範囲を求める問題のことをこのように呼ぶことがあるようなので僕もそう呼んでいます。ただし、この語が数学書で用いられた例を知らないので、由緒正しい語彙ではないように思えます。いずれにせよ、あまり一般的でない表現なのは確かです。

*2:あまり意識されませんが、 $\left\{ \begin{array} 　\\　\end{array} \right.$ は、同時に成り立つ、すなわち"かつ"の関係である複数の条件を表記するときに使います。 $\left\{ \begin{array} -1 \leqq x \leqq 1 \\ p-1 \leqq x \leqq p+1 \end{array} \right.$ なら、「 $-1 \leqq x \leqq 1$ であり、しかも $p-1 \leqq x \leqq p+1$ であるような $x$ の範囲」を表すことになります。これは $p$ の値によって変化しますから、場合分けが必要です。