数列の和/差の体系的理解 ~離散量の微分積分学~
◆今回のテーマ 数列の和/差の体系的理解
数学Bで習う数列は、高校数学の中でも浮いた印象を抱かれがちな分野です。高校数学では理論体系を詳しく学ばず、漸化式は個別の解法の暗記に終始しがちですし、数列の和も、ただ「和を表す記号を習っただけ」で終わることがままあります。(僕自身もそうでした)
この記事では、数列分野の中でも特に数列の和について、その背後に潜む微分積分との類似性に注目することで、体系的・統一的な理解を試みます。本記事で得られる理解は実際の和の計算にも応用でき、例として、
(とそれに公比をかけたもの(この例なら)を用意して辺々を引いて、)
に依らずと出来るので、
このような簡単な計算によって素早く求められるようになります。
◆数列の和と数列の差の相互関係
本題に入る前に、次の問題を考えてみましょう。
一見しただけでは規則性を掴みづらい数列です。殆どの人は恐らくこのように解くでしょう。
従って、であり、に対し
実はこの解法には、この記事で説明する数列の和と差の相互関係が非常によく顕れています。
からを求める操作が「差」、からを求める操作が「和」なのです。まさに和と差は"逆"の関係であると言えるでしょう。
高校数学には、"逆"の関係を持つ二つの演算の組がもう一つあるはずです。寧ろこちらの関係の方が数列の和と差の関係よりも遥かによく知られているでしょう。微分と積分です。
先に触れたように、微分と積分は互いに逆の演算です。を微分することで得られる関数をとするなら、を積分すると得られる関数は(積分係数という誤差は生じるものの)そのものです。
そしてこの"逆"の関係は、数列の和と差にも存在するのでした。
この類似は偶然ではありません。そもそも積分と和、微分と差はそれぞれ同じモノですから、微分/積分と和/差の関係が類似しているのは当然のことなのです。
積分と和が同じモノとはどういう意味でしょうか? 数学IIIで扱う区分求積法を思い出せば、この意味するところを大雑把に理解できるはずです。実は区分求積法は積分のルーツそのものなのです。数学が発展した現在では別の定義が与えられているものの、定積分が発明された当初は高さ、幅の微小な面積を足し合わせたもの(=)を積分と定義していました。
微分と差が同種のモノである根拠も、微分の定義式の中に隠されています。の微分はで定義されます。これにも差が見て取れますね。
このように、和や差はそれぞれ、積分と微分の考えの元となるものであり、大雑把に言えば和と積分、差と微分は同一のモノなのです。数学では、積分や微分に対応する和と差の呼称として、和分と差分を定義しています。以下、数列の各項の総和、隣り合う項の差を表すためにこの語彙を用いることとします。
数学IIや数学IIIでの「微分積分」は、実数変数の関数の値の変化を微分と積分を用いて解析することがそのテーマでした。数学の中でも特にこのような分野を微分積分学や解析学と言います。
対して「数列」では、整数変数の関数の値の変化を差分と和分を用いて解析することがそのテーマとなっています。連続的な関数の変化を解析する微分積分学に対し、こちらを和分差分学と言います。
微分積分学に積分を表す記号、微分を表す記号が存在するように、和分差分学にも和分記号と差分記号が存在します。は高校数学では扱いませんが、以下ではの差分をと書くことにします。(記事最下部で詳しく説明する通り、この記号を一般に前進差分作用素と呼びます)
◆積分と和分の対比による数列の和の理解
度々例に用いる通り、の不定積分は、微分すればになる関数のことですから、つまり、積分することは微分すればになる関数を求めることであると言えます。
一定以上に数学に慣れ親しんだ人であれば、積分公式や置換積分に頼ることなく、この考えを応用して積分を計算する方法を目にしたことがあるのではないでしょうか?
例えばは、やと置換して計算する方法が一般的ですが、(見抜くには慣れが必要になるものの)であると閃くことができれば、
このように解くことも可能です。これはまさに、「微分すればになる関数を想像する」ことによってを積分したということです。
同様の考え、すなわち「の和を求めることは、差を求めればになる関数を求めることに等しい」という考えを数列の和にも導入すれば、統一的な方法によって数列の和を計算することが出来ます。
つまり、がどのような関数であれ、差分すれば(すなわちを計算すれば)になる関数を知ることができれば、を
◆計算への応用
以下では、基本的な関数について、差分がとなるような関数の求め方を整理していきます。を求められれば
として計算するだけです。(このように、和の各項を打ち消しあわせて和を計算することをtelescoping methodと言います) シンプルな等差数列や等比数列の和は和分関数を考えずに従来の公式を用いた方が楽になる場合もあるため、この記事での方法(和分差分学的な方法)と教科書的な公式を利用する方法を適切に使い分けて計算するのがベストと言えます。
1. が次多項式 → 次多項式
◎が連続した整数の積のとき、はの因数を負の方向にもう一つ増やしたものがの骨格になります。
例えばのとき、因数を負の方向にもう一つ増やせばになります。するとの骨格はとなるはずですから、より、適当な定数を用いてと書けるはずです。右辺を因数分解して整理すればとなりますから、これを満たすはです。(慣れるとを暗算で求められるようになります。)
が連続積でない場合は、は即座には求められませんから、まず◎被和分関数を複数の連続積の和/差で表すことが出来ないか試みると良いでしょう。(そう出来ない場合は、の公式を併用することになります。)
が二次式の場合はは三次式となり
が三次式の場合はは四次式となります。
が連続した整数の積でない場合は、分配法則を利用して連続積の和/差で表現してから計算すればよく
このようになりますが、としての公式を利用した方が手早いですね。
これらの公式の証明が必要なときは
このように連続積に分解することで計算可能です。よく知られているを利用した証明よりも遥かに楽(かつ本質的)です。
2.が次式(は負の有理数) → は次式
の次数が負の有理数の場合は、◎分母の有利化 or 部分分数分解で自然にを求められるため、テクニックとして身に付けて無意識に和分差分学的な方法を用いている人が多いです。従って特に目新しい技術は登場しないので、幾つかの例だけ挙げておきます。
が次式 → は次式 ( は有利化すればわかる)
が次式 → は次式 ( は部分分数分解すればわかる)
が次式 → は次式 ( は部分分数分解すれば分かる)
3. が等比数列 → は
見出しの通り、とすれば実際にと出来ます。
等比数列の和は公式化されており、和分差分学的な方法に依るよりも公式を覚えて運用するほうが手早く計算できますが、恒等式を理解していると見通しの良くなる場面は多くあります。例の如く公式の証明にも応用でき、
とすればエレガントに公式を導出できます。
4. が → は
いわゆる(等差)×(等比)数列です。ここまで被和分関数が複雑だと、想像力だけでを求めるのは難しくなります。 のような恒等式を都度考えて、係数を比較することでを求めることをオススメしますが、玄人は見出しの式を頭に入れても良いでしょう。一般形を覚えてしまえば
従って
こんな調子で簡単にを導けます。ここまで来れば和を求めるのは簡単で、
この通りです。の等比数列成分の指数がでない場合、すなわちのような場合も、恒等式の両辺を適当な回数倍してやれば済み、ほとんど同様にしてを求められます。
一般に、「対象にある変換を施す」ことを表現するモノを作用素と言います。変換というのは、"何らかの加工"だと思って下さい。
例えば関数に「積分」という加工を施すことを表現するためにはを用いますが、この記号は積分作用素と呼ばれます。「微分」という加工を表現するモノであるは微分作用素です。
同様に、和分を表す記号を和分作用素と言います。差分にもそれを表現する記号、すなわち差分作用素が定義されており、実は本文中で用いた記号は一般に定義されたこの記号に他なりません。
正確には差分作用素には二つの種類があり、
前進差分作用素がで、
後退差分作用素がで定義されています。
本文中で用いた差分の記号も、一般によく用いられる差分の記号も前進差分作用素です。後退差分作用素はあまり用いられません。実用上は前進差分作用素さえ使いこなせれば十分です。
作用素の定義の分数型を見れば分かる通り、関数の前進差分はのからまでの平均変化率を表しています。これはの微分(導関数)がの傾きを表していることに対応しています。このことからも、微分積分と差分和分の類似性を感じ取ることが出来ますね。
因みに、ある作用素に対して不変な関数をその関数の固有関数と言います。一般に、連続関数は積分作用素や微分作用素に対して不変な関数、つまりこれらの固有関数として知られています。和分作用素や差分作用素にも固有関数が存在しており、実はそれはこの記事の中に一度登場しています。意欲的な人はどれが固有関数なのか考えてみて下さい。
◆総括
かなり長い記事になってしまいましたが、この記事の要点は以下の二つです。
◎微分すればになる関数を想像することによっての積分を求められるように、差分すればになる関数を想像することによっての和分を求められる
浮いた印象を抱かれがちな数列分野も、実は根底には微分積分との共通性があり、離散的な量を解析するために、連続量におけるそれと同様の考えを用いていたのでした。この記事によって数列分野の見通しが良くなれば幸いです。
通過領域/点の存在範囲の最難問 ~東大理系数学1988 第3問~
◆今日のテーマ ~1988年 東大理系数学第3問~
難関大入試数学で度々出題されるテーマに平面変換とか通過領域とか点の存在範囲とか呼ばれるものがあります。特に東京大学は何十年も前からよく出題します。
いわゆる頻出テーマの一つですが、その中でも史上最難問と名高いものの一つが1988年 東大理系数学の第3問です。今日はこれを解いてみます。
条件:「を平行移動した図形で, 点を通り, かつもとの図形との共有点がただ点であるようなものが,ちょうど個存在する.」
◆問題読解
ありとあらゆる問題を解く上で大変に重要なことは問題の構造を把握することです。特に難問に於いては、これを意識して丁寧に行えるかどうかが命運を分けると言っても良いでしょう。(むしろコレさえ出来れば殆どの問題は定式化された処理によって解答可能とも言える。)
証明問題であれば、用いてよい事実(仮定)とこれから示すべき事実(結論)を把握すること、
求値問題*1であれば、求めるべき値の満たす性質(条件)を把握することが重要です。
今回の問題は求値問題に属します。求めるべきものはの座標の満たす関係式であり、それは「を平行移動した図形で, 点を通り, かつもとの図形との共有点がただ点であるようなものが,ちょうど個存在する.」という条件から与えられます。これを意識しましょう。
◆解答計画
上の◆問題読解によれば、求めるべきものはの座標の満たす関係式であり、それは「を平行移動した図形で, 点を通り, かつもとの図形との共有点がただ点であるようなものが,ちょうど個存在する.」という条件から与えられるのでした。
「ある点を通過する」図形(幾何的対象)の存在を論じるための最も良い手法はパラメータの存在にすり替えて議論することです。存在を議論したい対象を、適当なパラメータを用いて表現することで、図形の存在を数或いは数の組み合わせの存在へと帰着させます。まずは図形の方程式の一般形を求め、それが解を持つような(その図形に対応するパラメータが存在するような)条件を求めます。
この問題の場合はを平行移動した図形」の存在を条件として用いますから、まずはこれをパラメータを用いて表現することになりますが、一筋縄では行かないのがこの問題で、「を通過する」以外にも更に「と共有点を一つ持つ」という条件が存在します。
ここで混乱して解答不能になった受験者も多いのではないかと思います。このような場合は、の座標についての条件とそれ以外の条件を切り分けて、それぞれを別の段階で考えられるように問題を捉え直すと良いのです。
つまり本問の場合は、"を平行移動した図形"のに無関係な条件である、「と共有点を一つ持つ」と、直接の座標に制限を与える「を通過する」を切り分けて捉えるのです。
その結果として、一般にを平行移動した図形全体をパラメータで表現するのではなく「を平行移動した図形のうち、と共有点を一つ持つ図形」をパラメータで表現するのだと認識を改められれば、問題の構造が本当に簡単なものに見えるのではないでしょうか。つまり、
1.「を平行移動した図形であり、かつをただ一点の共有点を持つもの」をパラメータを用いて表現する
2.それらのうちを通るものが3つ存在するようなの条件を求める
の二段階に分けて問題を解けば良いと分かります。後は迷うことはありません。
(このように問題の構造を丁寧に把握し、解答計画を立案することは、殊に難問に於いては大変に重要です。◆問題読解と◆解答計画の二つの項目は、難問を扱う場面に於いては、今後も様々な記事に登場するでしょう。)
◆解答
「を平行移動した図形であり、かつをただ一点の共有点を持つもの」をパラメータを用いて表現することを考える。
を軸方向に、軸方向にだけ平行移動した図形を
と表すとすると、これがと共有点を唯一つ持つことは、
方程式がに解をただ一つ持つことに等価である。*2
この方程式を整理するととなるから、以下、この左辺をと置き、がに実数解を唯一つ持つの条件を考察する。また、である。
のとき
を満たすは存在しない。
のとき
である。のグラフの軸はであり、これは区間の中央に位置する。従って、求める条件はである。
のとき
であり、これがに解を持つためにはが必要であるが、このとき、解は任意のとなり不適
のとき
である。のグラフの軸はであり、これは区間の中央に位置する。従って、求める条件はである。
のとき
を満たすは存在しない。
から、が「がと共有点を唯一つもつ」ことに必要十分である。
これらをの式に反映させて整理すれば
「を平行移動した図形であり、かつをただ一点の共有点を持つもの」は、パラメータを用いて
と表すことが出来る。これが点 *3を通過するとき、
すなわち
の解がの範囲に存在し、その個数が条件を満たすの個数に一致する。
したがって、を通過するが3つ存在する条件は、方程式がを満たす相異なる解を3つ持つ条件に等価である。以下はこれを考える。*4
の左辺をと置くと、
のとき、となり不適 ( このときの実数解がただ一つとなる)
のとき、の増減は以下の表のようになる。
のとき
である。より、「かつ」、すなわちが必要。
において、
であるから、結局、グラフが図のようなときに条件を満たす。
従って、が求める条件である。
のとき
のときと同様に考えればが必要であり、グラフが図のようなときに条件を満たす。
従って、が求める条件である。
また、をそれぞれ計算すると
であるから、これらを踏まえれば、の満たすべき条件は、
または
図示すると以下のようになる。
境界はのみ含む。ただし点は除く。
◆総評
流石にこの類の問題で史上最難と呼ばれるだけあり、流石に骨が折れました。
本問の珍しいところは、三次方程式の解の配置を扱うところです。◆解答計画で少し言及したように、方程式の解の配置の問題へ帰着させる方法は逆像法と呼ばれるもので、平面変換の問題の定石として広く知られています。本問でもそれを採ったわけですが、多くの問題は二次方程式の解の配置へ帰着できるのに対し、本問では扱う図形が三次関数のグラフ*5であり、式が高次になってしまうために、三次方程式の解の配置の問題を解くことになります。二次方程式の解の配置問題を本当に理解していれば、殆ど同様の考えによって解くことが出来ますが、理解が曖昧だとここで詰まってしまうかもしれません。
*1:値やその範囲を求める問題のことをこのように呼ぶことがあるようなので僕もそう呼んでいます。ただし、この語が数学書で用いられた例を知らないので、由緒正しい語彙ではないように思えます。いずれにせよ、あまり一般的でない表現なのは確かです。
*2:あまり意識されませんが、は、同時に成り立つ、すなわち"かつ"の関係である複数の条件を表記するときに使います。なら、「であり、しかもであるようなの範囲」を表すことになります。これはの値によって変化しますから、場合分けが必要です。
*3:Pの座標は何でも良いわけではありません。はの範囲にしか存在しない図形ですから、もこの範囲の点でなければなりません。この条件は割と忘れがちだと思います。
*4:少し前の議論において、の範囲がによって変化するため、の値で場合分けを行いました。今回も同様で、の範囲がによって変化するため、の値で場合分けを行います。
*5:英語ではこの図形をcubic parabolaとか呼びます。この訳語は三次放物線ですが、別に物体の投射軌道には関係がないのでこの呼び名は僕は使わないことにしています。